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卫星的稳定运行与变轨运动

李 松
    在中学物理中,“人造地球卫星”是一个重要的内容,卫星从某一稳定轨道转变到另一稳定轨道运动的过程,简称卫星变轨,这一过程通常出现在发射阶段和回收阶段或调整卫星姿态阶段.由于卫星跟科技、社会、生活密切联系,因而卫星问题历年来都得到考试专家的青睐,加之该节内容所涉及的相关知识较多,综合性很强,而历次版本的教材对该问题的叙述都极其有限,对返回式卫星、地球同步卫星的变轨问题往往都是一带而过,使许多学生对卫星的稳定运行和变轨运动的规律感到困惑不解,本文力求将此问题做一个清晰的推理,澄清一些错误的认识.
     一、卫星的稳定运行
     我们知道,卫星绕行星以半径r做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,有
  ,
    由此得卫星做稳定的圆周运动时的速度
    .
    显然,离行星越远的高轨道卫星,其稳定运行的速率越小.
    二、卫星的变轨运动
    如图1所示,在圆轨道l上运行的卫星如何到达圆轨道3呢?卫星的速率到底发生了哪些变化才能实现这个变轨运动?
   
 
 
 
 
    例如,发射地球的同步卫星时,我们先让卫星在半径为a的近地圆轨道1上绕地球运行,当卫星运行到P点时卫星的推进发动机瞬间点火工作,使卫星的速率增加到 ,让卫星做离心运动,经过霍曼轨道2(分别与两个圆相切的椭圆轨道)过渡,到椭圆轨道的远地点Q点时,再次让发动机瞬间点火给卫星加速,使卫星从半径为a的小圆轨道1最终变为半径为b的大圆轨道3,实现变轨运动.
    由前面知,在轨道1上有
                                (1)
    在轨道3上有                (2)
    下面关键是求出在霍曼轨道2上PQ两点的速度 和
先简单推出卫星的势能表达式
                            (3)
卫星沿半径方向远离行星一段微小位移dr的过程中,克服引力做的微功
,  
两边积分得
 
.
 
这表明引力对质点所做的功取决于始点和终点的位置,而与质点中间所经过的路径无关.因此系统具有势能,取无穷远处为参考点,当 时,即 ,则万有引力势能为:
     .
r1是任意选取的,所以可以去掉角码.
卫星在霍曼轨道2上从P点到Q点的过程中,有机械能守恒有
 
 
                 (4)
由开普勒第三定律知,卫星经过P点和Q点的 时间内扫过的面积相等,即
      
             (5)
 
由(4)(5)得
 
          (6)
 
             (7)
    结论 比较(1)、(2)、(6)、(7)可知, , 故卫星从轨道1到轨道3时需要在霍曼轨道2的P、Q两点分别加速一次,使其获得更多的机械能,事实上,这也符合能量守恒原理(卫星的总能量 ,请读者自己证明),发射高轨道的卫星,当然需要更多的能量.另外,虽然 , ,但最终卫星在圆轨道稳定运行时有 。是因为卫星从P点到Q点的过程中,需要克服引力做负功,而使速度减小的缘故.
    例题 发射地球同步卫星时,先将卫星发射到近地轨道1上.然后经点火.使其沿椭圆轨道2运行.最后再次点火.将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于P点.轨道2、3相切于Q点.如图1所示.则当卫星分别在l、2、3轨道上正常运行时.以下说法正确的是
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道l上的速率
B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C.卫星在轨道l上经过的P点时的速度大于它在轨道2上经过P点时的速度
D.卫星在轨道2上经过Q点时的加速度等于它在轨道3上经过Q点时的加速度
    解析  在轨道1和轨道3上卫星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,容易知道A错B对;在轨道1上经过P点时加速,所需向心力变大,而此时的万有引力不足以提供向心力,故卫星做离心运动进入轨道2,C错;卫星在轨道2上和轨道3上经过Q点时,其所受万有引力相同,所以在轨道2上经Q点时和在轨道3上经过Q点时的加速度相等.D对;所以正确选项应为BD

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